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24 November 2017

Perché la friendzone non è un equilibrio di Nash

Perché la friendzone non è un equilibrio di Nash

Il dilemma del prigioniero rappresenta la spiegazione formale del perché la Friendzone, ovvero (Non Confessare, Non Confessare), non è un equilibrio di Nash.

Una delle cose che più mi affascina dello studiare economia è che con un minimo di inventiva e qualche base di matematica si può spiegare qualunque cosa.
Tutti ricorderanno la scena madre del film A Beautiful Mind in cui il matematico Jhon Nash, interpretato dal premio Oscar Russell Crowe, spiega ai colleghi per quale motivo buttarsi a pesce sulla più bella del gruppo non è mai una buona idea, ma piuttosto conviene scegliere ciascuno una ragazza diversa e… raggiungere quello che in gergo viene definito “equilibrio di Nash”.

Per quanto io odi la microeconomia, devo ammettere che la teoria dei giochi è stata una rivelazione e spesso mi capita di analizzare situazioni cercando di ricondurle a uno schema.

L’ultima volta che mi è venuta un’illuminazione da economista nerd, è stata quando ho guardato una puntata di Friendzone su Mtv. Per chi non sapesse cosa sia la friendzone, sappia che è catalogata come uno dei nuovi mali dell’umanità, definita come quel limbo tipico da telefilm americano anni ’90 in cui un ragazzo e una ragazza sono più-che-amici-ma-non-ancora-fidanzati.
Il programma narra in ogni puntata di come uno dei due decida finalmente di fare il grande passo, organizzare l’appuntamento con la A maiuscola, dichiararsi e dare un taglio alla situazione (s)comoda; ma tutto questo non prima di aver guardato il pubblico dritto negli occhi e chiedersi «Confesso o non confesso?».
Tutto questo non poteva che farmi venire in mente il gioco principe della teoria dei giochi, a.k.a. Il dilemma del prigioniero. Il gioco è stato proposto da Alber Tucker negli anni ’50 ed è diventato noto per la sua componente paradossale, ovvero il fatto che l’equilibrio del gioco non è un equilibrio di Nash, in quanto esiste una combinazione di strategie tali per cui entrambi i giocatori potrebbero stare meglio rispetto all’outcome trovato.
Anziché due prigionieri, consideriamo un ragazza di nome Joey e un ragazzo di nome Dawson, (ogni riferimento a Dawson’s Creek non è puramente casuale!)
Joey e Dawson sono cresciuti insieme in una paesino di campagna, sanno tutto l’una dell’altro, sono amici per la pelle e tutto fila liscio fino all’età della pubertà. A un certo punto tutto non è più come prima, qualcosa si incrina, c’è attrazione reciproca, ma ancora nessuno se ne rende conto. Quando finalmente sembrerebbe che possa nascere qualcosa, arriva in città un’avvenente bionda a smuovere le acque: Jen, affascinante ragazza ribelle cresciuta nella Grande Mela. Che fare dunque?

Ipotizziamo che un giorno Joey si svegli e anziché fissare il soffitto, decida di analizzare le sue strategie per affrontare quello strano rapporto che ha con Dawson: Confessare o Non Confessare? Le ragioni per non confessare sono molteplici e piuttosto ovvie. Non confessare è la situazione più semplice: si rimane amici, ci si continua a vedere, a sentire, a uscire insieme e, soprattutto, non si perde la faccia in caso di rifiuto. Insomma, Non Confessare procura un payoff pari a X. Per semplicità, potremmo ipotizzare X=7.

Analizziamo invece la strategia del Confessare.
Confessare è difficile, si deve trovare coraggio, il momento buono, il modo perfetto… e se lui dice no? Per motivi di fitting (e un po’ perché fa figo), aggiungiamo degli assiomi:

(i) Ogni giocatore ha a disposizione due strategie: Confessare o Non confessare.
(ii) Il gioco è simmetrico. Noi analizziamo le strategie di Joey, ma lo stesso ragionamento vale per Dawson.
(iii) Dawson è un uomo basic: se confessa vuol dire che è interessato, altrimenti vuol dire che preferisce la bionda.

Consideriamo il caso in cui Joey confessa e Dawson no (C, N).
Joey ovviamente ci rimane male e si sente una stupida, tuttavia si rende anche conto che il mondo là fuori è pieno di pesci. Dopo un breve periodo da cuore infranto, la nostra Joey si rimette in carreggiata, frequenta altri ragazzi e indovinate un po’? Dawson si rende conto di quanto sia stato stupido e tenta di recuperare la situazione, ma… ormai lei se la spassa con il suo migliore amico!
Insomma, possiamo riassumere questa situazione assegnando a Joey un payoff X’>X, es 9, mentre Dawson avrà perso tutto e si ritroverà con 1.

Consideriamo il caso invece in cui sia Joey e Dawson confessano (C,C)

Nonostante l’idilliaco inizio fatto di baci e paroline dolci, tutti sappiamo che la vita di coppia non è sempre una passeggiata. Il problema fondamentale dello stare insieme è che si cominciano a vedere tante piccole cose a cui prima non si davano peso: il tappo del dentifricio lasciato sul lavandino, i vestiti appallottolati sul letto…
Insomma, sicuramente il payoff è inferiore al caso in cui si preferisce tacere, X”<X, pertanto possiamo assegnare X”=5.

Dawson Confessa

Dawson Non Confessa

Joey Confessa

5,5

9,1

Joey Non Confessa

1,9

7,7

Cerchiamo di capire qual è il Nash equilibrium del gioco. Quando Dawson confessa, a Joey conviene confessare in quanto 5>1.
Quando Dawson non confessa, a Joey conviene di nuovo confessare perché 9>7.
Dal momento che il gioco è simmetrico, è possibile ripetere lo stesso ragionamento anche per Dawson.
La cosa paradossale del gioco è che, come si può osservare dalla matrice, a entrambi converrebbe tacere poiché 7 > 5, ma dal momento che ognuno deve pensare a cosa gli conviene, data ogni possibile strategia dell’altro giocatore, confessare è sicuramente la strategia più conveniente e come va, va!

Emerge dunque chiaramente che in caso di friendzone, confessare è la strategia vincente, tuttavia, dal momento che dalla regia mi fanno notare che manca l’opzione “induci l’altro a confessare così lui becca 10 e tu 100”, mi rendo conto che ho ancora veramente tanto da imparare in materia!

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